[LA] Elimination With Matrices

Contents

1. Elimination 

2. Back Substitution

3. Matrix Multiplication 

4. Elimination Matrices

1. Elimination

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아래 방정식을 풀어보겠습니다.

방정식을 Augmented Matrix 형태로 나타내면 아래와 같고 행연산을 통해 좌측으로부터 최대한 많은 0을 만들어줍니다.

2. Back Substitution

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Augmented Matrix를 Elimination 연산을 하여 나온 결과 값을 다시 방정식 형태로 나타내면 아래와 같습니다. 아래 방정식에서는 밑에서 위쪽으로 올라오면서 순서대로 z, y, x의 해를 구할 수 있습니다. 밑에서 부터 위쪽으로 올라오면서 해를 구하는 것을 Back Substitution이라고 합니다.

3. Matrix Multiplication

이번에는 행렬 곱셈의 방법으로 두 가지를 간단히 설명해볼까 합니다.

 

먼저 행렬 곱셈을 column operation 관점에서 보면, 곱셈의 결과값은 왼쪽 행렬의 column vector들의 선형조합이라고 볼 수 있습니다. 이 때 선형조합을 나타내는 계수들은 오른쪽 행렬의 column vector안에 담겨 있습니다. 아래는 column operation의 예시입니다.

다음으로 row operation관점에서 보면, 곱셈의 결과값은 오른쪽 행렬의 row vector들의 선형조합이라고 볼 수 있습니다. 이 때 선형조합을 나타내는 계수들은 왼쪽 행렬의 row vector안에 담겨 있습니다. 아래는 row operation의 예시입니다.

4. Elimination Matrices

 

1. Elimination 에서 예를 들었던 행렬에서 오른쪽 열을 없앤 행렬을 사용해보겠습니다. 일상생활에서는 문제에 대한 해(오른쪽 열)는 사전에 알 수 없는 경우가 많기 때문에 이와 같이 오른쪽 열을 제외하고 수학적인 연산을 해야할 경우가 많습니다.

Step 1의 경우, E21은 오른쪽에 있는 A의 두번째 row vector에서 첫번째 row vector의 3배를 빼는 연산을 나타내는 행렬입니다. 마찬가지로 Step 2의 경우, E32은 오른쪽에 있는 A'의 세번째 row vector에서 두번째 row vector의 2배를 빼는 연산을 나타내는 행렬입니다. Step1과 Step2는 3. Matrix Multiplication에서 설명한 row operation을 사용한 것입니다.

 

 

위의  Step1, Step2 과정을 아래와 같이 한줄로 나타낼 수 있습니다. 이때 E32E21을 합쳐 Elimination Matrices라고 부릅니다.